Операции с выделенными выражениями

 

К операциям с выделенными выражениями относятся следующие:

 

  Evaluate (Вычислить)

преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю

  Simplify (Упростить)

упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т. д.

Expand (Разложить

по степеням)

раскрыть выражение [например, для (Х+ Y) • (Х- Y) получаем X2-У2]

Factor(Разложить на множители)

разложить число или выражение на множители[например, Х2- У2 даст (Х+ Y) • (Х- Y)]

Collect

(Разложить по

подвыражению)

собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения)

Polynomial Coefficients

(Полиномиальные

коэффициенты)

найти коэффициенты полинома по заданной переменной, приближающего выражение, в котором эта переменная использована

 

Evaluate (Вычислить)

 

Эта операция содержит подменю со следующими командами:

 

•        Evaluate Symbolically [Shift+F9](Вычислить в символах) — выполнить символьное вычисление выражения;

 

•        Floating Point Evaluation... (С плавающей точкой) — выполнить арифметические операции в выражении с результатом в форме числа с плавающей точкой;

•           Complex Evaluation (В комплексном виде) — выполнить преобразование с представлением в комплексном виде.

 

Команда Evaluate Symbolically тут наиболее важная. Назначение других команд очевидно: они нужны, если результат требуется получить в форме комплексного или действительного числа. К примеру, если вы хотите вместо числа p получить 3.141..., используйте команду Floating Point Evaluation. В режиме символьных вычислений результат может превосходить машинную бесконечность системы. При этом число точных значащих цифр результата практически не ограничено (или, точнее говоря, зависит от емкости ОЗУ).

 

Символьная операция Evaluate Symbolically [Shift+F9] (Вычислить) обеспечивает работу

 

с       математическими выражениями, содержащими встроенные в систему функции и представленными в различном виде: полиномиальном, дробно-рациональном, в виде сумм и произведений, производных и интегралов и т. д. Операция стремится произвести все возможные численные вычисления и представить выражение в наиболее простом виде. Она возможна над матрицами с символьными элементами. Производные и определенные интегралы, символьные значения которых вычисляются, должны быть представлены в своей естественной форме.

 

Особо следует отметить возможность выполнения численных вычислений с повышенной точностью — 20 знаков после запятой. Для перехода в такой режим вычислений нужно числовые константы в вычисляемых объектах задавать с обязательным указанием десятичной точки, например 10.0 или 3.0, а не 10 или 3. Этот признак является указанием на проведение вычислений такого типа.

 

Ниже показаны типовые примеры действия операции Evaluate Symbolically.

 

Здесь слева показаны исходные выражения, подвергаемые символьным преобразованиям, а справа — результат этих преобразований. Так представлены и другие примеры, приведенные в этом разделе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операция Evaluate Symbolically одна из самых мощных. Как видно на рисунка, она позволяет в символьном виде вычислять суммы (и произведения) рядов, производные и неопределенные интегралы, выполнять символьные и численные операции с матрицами.

 

Simplify(Упростить)

 

Символьная операция Simplify (Упростить) — одна из самых важных. Эта операция позволяет упрощать математические выражения, содержащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами (полиномами).

Упрощение означает замену более сложных фрагментов выражений на более простые. Приоритет тут отдается простоте функций. К примеру, функция tan(x) считается более сложной, чем функции sin(x) и cos(x). Поэтому tan(x) упрощается так, что получает представление через соотношение этих функций, что несколько неожиданно, так как в некоторых пакетах символьной математики, например Derive, ситуация иная: они заменяют отношение sin(x)/cos(x) функцией tan(x).

 

Эта команда открывает широкие возможности для упрощения сложных и плохо упорядоченных алгебраических выражений. На рисунке слева даны примеры применения операции Simplify

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система MathCAD содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенным численным методом. Ею целесообразно пользоваться, когда нужно просто получить значение определенного интеграла в виде числа.

 

Однако команда Simplify применительно к вычислениям определенных интегралов делает гораздо больше — она ищет аналитическое выражение для интеграла. Более того, она способна делать это и при вычислении кратных интегралов, пределы которых — функции. Наглядный пример этому продемонстрирован слева.

 

 

 

 

 

 

 

 

Операцию Simplify можно использовать и для вычисления сумм произведений символьных последовательностей. Результат операции, как и следовало ожидать, получается в символьной форме (если она существует).

 

 

 

 

Приведенные примеры могут создать впечатление, что MathCAD лихо справляется со всеми производными, интегралами, суммами и произведениями с помощью операции Simplify. К сожалению, это далеко не так . Нередко система не справляется с кажущимися простыми справочными примерами. Надо помнить, что символьный процессор системы MathCAD обладает заметно урезанной библиотекой функций и преобразований (в сравнении

 

с   библиотекой системы Maple V). Поэтому часто система не находит решение в замкнутом виде, хотя оно и приводится в справочнике. Тогда система повторяет введенное выражение или сообщает об ошибке.

 

В   результате преобразований могут появляться специальные функции — как встроенные в систему (функции Бесселя, гамма-функция, интеграл вероятности и др.), так и ряд функций, дополнительно определенных при загрузке символьного процессора (интегральные

 

Expand (Разложить по степеням)

 

Действие операции Expand (Разложить по степеням) в известном смысле противоположно действию операции Simplify. Подвергаемое преобразованию выражение расширяется с использованием известных (и введенных в символьное ядро) соотношений, например алгебраических разложений многочленов, произведений углов и т. д. Разумеется, расширение происходит только в том случае, когда его результат однозначно возможен. Иначе нельзя считать, что действие этой операции противоположно действию операции Simplify. К примеру, операция Simplify преобразует сумму квадратов синуса и косинуса в 1, тогда как обратное преобразование многозначно и потому в общем виде невыполнимо.

 

При преобразовании выражений операция Expand Expression старается более простые функции представить через более сложные, свести алгебраические выражения, представленные в сжатом виде, к выражениям в развернутом виде и т. д. Примеры действия операции Expand Expression даны на рисунке слева.

 

 

 

 

 

Последний пример на этом рисунке показывает, что результатом операции может быть специальная математическая функция, которая считается более сложным выражением, чем порождающее ее выражение. С виду, однако, выражения со специальными математическими функциями обычно выглядят гораздо проще, чем исходные выражения.

 

Factor (Разложить на множители)

 

Операция Factor Expression (Разложить на множители) используется для факторизации

 

— разложения выражений или чисел на простые множители. Она способствует выявлению математической сущности выражений; к примеру, наглядно выявляет представление полинома через его действительные корни, а в том случае, когда разложение части полинома содержит комплексно-сопряженные корни, порождающее их выражение представляется квадратичным трехчленом. Примеры действия этой операции даны на рисунке ниже.

В                 большинстве случаев (но не всегда) операция факторизации ведет к упрощению выражений. Термин факторизация не является общепризнанным в отечественной математической литературе, но мы его оставляем в связи с созвучностью с англоязычным именем этой операции.

 

 

 

 

 

 

 

Collect (Разложить по подвыражению)

 

Операция Collect(Разложить по подвыражению) обеспечивает замену указанного выражения выражением, скомплектованным по базису указанной переменной, если такое представление возможно. В противном случае появляется окно с сообщением о невозможности комплектования по указанному базису.

 

Эта команда особенно удобна, когда заданное выражение есть функция ряда переменных и нужно представить его в виде функции заданной переменной имеющей вид степенного многочлена. При этом другие переменные входят в сомножители указанной переменной, представленной в порядке уменьшения ее степени.

 

 

 

 

 

 

В     том случае, когда комплектование по базису указанной переменной невозможно, система выдает сообщение об этом. Оно выводится в отдельном небольшом информационном окошке.

 

Polynomial Coefficients( Полиномиальные коэффициенты)

 

Операция Polynomial Coefficients(Полиномиальные коэффициенты) в ранних версиях MathCAD отсутствующая, служит для вычисления коэффициентов полинома.

Операция применяется, если заданное выражение – полином (степенной многочлен) или может быть представлено таковым относительно выделенной переменной. Результатом операции является вектор с коэффициентами полинома. Операция полезна при решении задач полиномиальной аппроксимации и регрессии.

 

 

 

 

 

[В начало]